韩信点兵 点点点点点

 　　在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。这样的问题，也有人称为“韩信点兵”。

　　古代公务员大将军韩信能算出的题，作为准公务员的你，会算么?要想知道一代战神韩信是如何快速算出的，还需从我国古代的剩余定理(同余定理)说起。

　　一、理论模型

　　一个数除以a余m，除以b余n，除以c余p，求这个数最小是多少?

　　二、解题方法

　　同余口诀：余同取余，和同取和，差同减差，公倍数作周期。

　　①余同：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，则取1，表示：60n+1;

　　②和同：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，则取7，表示：60n+7;

　　③差同：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，则取-3，表示：60n-3。

　　选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即例中的60n)都满足条件。

　　注：n的取值范围为整数，即可以取负值，也可以取零。

　　三、真题练习

　　【例1】三位运动员跨台阶，台阶总数在100—150级之间，第一位运动员每次跨3级台阶，最后一步还剩2级台阶。第二位运动员每次跨4级台阶，最后一步还剩3级台阶。第三位运动员每次跨5级台阶，最后一步还剩4级台阶。则这些台阶总共有多少级：

　　A.119

　　B.121

　　C.129

　　D.131

　　【科信解析】

　　方法一：代入排除，只有A项符合条件。

　　方法二：3-2=1、4-3=1、5-4=1， 满足同余定理中的“差同减差”,3、4、5的最小公倍数为60，则该数可以写成：60n-1。由于台阶总数在100—150级之间，因此符合条件的只有n=2，则台阶数为60×2-1=119级。

　　因此，本题选A。

　　【例2】有一群人，想平均分组，如果每组21个人，那么还差1个人;如果每组35个人，那么还差15个人。请问：如果每组15个人的话，还差多少人?

　　A.1个

　　B.5个

　　C.10个

　　D.14个

　　【科信解析】

　　方法一：代入排除，只有C项符合条件。

　　方法二：注意：先将“差”转换为“余”。“ 每组21个人，还差1个人”即“除以21余20”;“ 每组35个人，还差15个人”即“除以35余20”为“余同取余”。21和35的最小公倍数为105，所以总人数为105n+20，这样的数再加上10就应该是15的倍数。

　　因此，本题选C。

　　下面开始我们的终极挑战，也就是文章刚开篇的韩信点兵题如何解呢?

　　【例3】韩信故乡淮安民间流传着一则故事——“韩信点兵”。秦朝末年，楚汉相争。有一次，韩信率1500名将士与楚军交战，战后检点人数，他命将士3人一排，结果多出2名;命将士5人一排，结果多出3名;命将士7人一排，结果又多出2名，用兵如神的韩信立刻知道尚有将士人数。已知尚有将士人数是下列四个数字中的一个，则该数字是：

　　A.868

　　B.998

　　C.1073

　　D.1298。;

　　【科信解析】

　　方法一：代入排除。分别将各个选项的数值除以3、5和7，如果余数分别为2、3和2，只有C项符合条件。

　　方法二：观察题目发现，不满足同余定理中的任意一个，因此我们想办法构造出符合要求的形式。“命将士3人一排，结果多出2名”即“除以3可以余2、5、8、11、14、17、20、23……”;“命将士5人一排，结果多出3名”即“除以5可以余3、8、13、18、23……”;“命将士7人一排，结果又多出2名”即“除以7可以余2、9、16、23……”。都有共同的余数23，3、5、7的最小公倍数为105，所以总人数为105n+23，当n=10时，总人数为1073。

　　因此，本题选C。

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