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韩信点兵 点点点点点

2018-08-14 编辑:文龙
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   在一千多年前的《孙子算经》中,有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”按照今天的话来说:一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数。这样的问题,也有人称为“韩信点兵”。

  古代公务员大将军韩信能算出的题,作为准公务员的你,会算么?要想知道一代战神韩信是如何快速算出的,还需从我国古代的剩余定理(同余定理)说起。

  一、理论模型

  一个数除以a余m,除以b余n,除以c余p,求这个数最小是多少?

  二、解题方法

  同余口诀:余同取余,和同取和,差同减差,公倍数作周期。

  ①余同:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,则取1,表示:60n+1;

  ②和同:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,则取7,表示:60n+7;

  ③差同:“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”,则取-3,表示:60n-3。

  选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即例中的60n)都满足条件。

  注:n的取值范围为整数,即可以取负值,也可以取零。

  三、真题练习

  【例1】三位运动员跨台阶,台阶总数在100—150级之间,第一位运动员每次跨3级台阶,最后一步还剩2级台阶。第二位运动员每次跨4级台阶,最后一步还剩3级台阶。第三位运动员每次跨5级台阶,最后一步还剩4级台阶。则这些台阶总共有多少级:

  A.119

  B.121

  C.129

  D.131

  【科信解析】

  方法一:代入排除,只有A项符合条件。

  方法二:3-2=1、4-3=1、5-4=1, 满足同余定理中的“差同减差”,3、4、5的最小公倍数为60,则该数可以写成:60n-1。由于台阶总数在100—150级之间,因此符合条件的只有n=2,则台阶数为60×2-1=119级。

  因此,本题选A。

  【例2】有一群人,想平均分组,如果每组21个人,那么还差1个人;如果每组35个人,那么还差15个人。请问:如果每组15个人的话,还差多少人?

  A.1个

  B.5个

  C.10个

  D.14个

  【科信解析】

  方法一:代入排除,只有C项符合条件。

  方法二:注意:先将“差”转换为“余”。“ 每组21个人,还差1个人”即“除以21余20”;“ 每组35个人,还差15个人”即“除以35余20”为“余同取余”。21和35的最小公倍数为105,所以总人数为105n+20,这样的数再加上10就应该是15的倍数。

  因此,本题选C。

  下面开始我们的终极挑战,也就是文章刚开篇的韩信点兵题如何解呢?

  【例3】韩信故乡淮安民间流传着一则故事——“韩信点兵”。秦朝末年,楚汉相争。有一次,韩信率1500名将士与楚军交战,战后检点人数,他命将士3人一排,结果多出2名;命将士5人一排,结果多出3名;命将士7人一排,结果又多出2名,用兵如神的韩信立刻知道尚有将士人数。已知尚有将士人数是下列四个数字中的一个,则该数字是:

  A.868

  B.998

  C.1073

  D.1298。;

  【科信解析】

  方法一:代入排除。分别将各个选项的数值除以3、5和7,如果余数分别为2、3和2,只有C项符合条件。

  方法二:观察题目发现,不满足同余定理中的任意一个,因此我们想办法构造出符合要求的形式。“命将士3人一排,结果多出2名”即“除以3可以余2、5、8、11、14、17、20、23……”;“命将士5人一排,结果多出3名”即“除以5可以余3、8、13、18、23……”;“命将士7人一排,结果又多出2名”即“除以7可以余2、9、16、23……”。都有共同的余数23,3、5、7的最小公倍数为105,所以总人数为105n+23,当n=10时,总人数为1073。

  因此,本题选C。

  是不是瞬间也能追上战神韩信呢?要想追随大将军的步伐,实现自己的公职梦,还要跟着科信老师继续学习哦!科信教育老师提醒各位考生,数量关系模块只有课后反复练习巩固才能熟练掌握。以上内容及后续的强化练习在我们的最新版教材、网校课程及后续的备考文章中都有提到,科信教育会持续为大家提供更多细致、全面的讲解,祝广大考生金榜题名!

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